线性加权法是多目标优化中使用比较广泛的方法,根据的重要程度,设定权重进行线性加权,将多个目标表示成:
从而转换为单目标的优化问题。 接下来我们给出在一定条件下,上述问题存在有效解的条件。
定理: 对于给定的,则上述问题的最优解是MOO问题的有效解。其中:
详细证明参考[1]
- 优点:实现简单,单目标优化问题有成熟的算法求解。
- 缺点:权重比较难确定,求出的解的优劣性没法保证。
除了上面介绍的线性加权法,主要目标法(也称-约束方法), 是一个应用广泛的算法
-约束方法从个目标中选择最重要的子目标作为优化目标,其余的子目标作为约束条件。 每个子目标,通过上界来约束。设上述约束条件得到的可行域为。
- 主要目标法最优解都是MOO的弱有效解
- 若主要目标是严格凸函数,可行域为为凸集,则主要目标法的最优解是MOO问题的有效解。
一般情况下,界限值可以取子目标函数的上界值:
这种取法可以使得某些留在可行域内,并且 内有较多的点靠近的最优解。
主要目标法的优缺点对比
- 优点:简单易行,保证在其他子目标取值允许的条件下,求出主要目标尽可能好的目标值。
- 缺点:如果给的不合适的话,新的可行域可能为空集。
逼近目标法是让决策者提出一个目标值,使得每个目标函数都尽可能的逼近对应的目标值:
逼近目标法和机器学习中的损失函数类似,是一个单目标优化问题,可以通过经典的方法进行求解。这里求解的最优解和有效解及弱有效解没有直接的联系;逼近目标法反映了决策者希望的目标值。
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- [5][S.D. Sudhoff. Lecture 9:Multi-Objective Optimization],https://engineering.purdue.edu/~sudhoff/ee630/Lecture09.pdf()